Matematicas T - App Interactiva

Conjuntos Numericos

Naturales (N) = {1, 2, 3, 4, ...} - para contar elementos.
Enteros (Z) = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} - incluye negativos.
Racionales (Q) = {p/q : p,q en Z, q distinto 0} - fracciones.
Irracionales (I) - decimales no periodicos (π, √2, e).
Reales (R) = Q ∪ I - todos los numeros.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Propiedades de los Reales

Conmutativa:
a + b = b + a
a · b = b · a

Asociativa:
(a+b)+c = a+(b+c)
(a·b)·c = a·(b·c)

Distributiva:
a(b + c) = a·b + a·c

Existencia de:
Neutro: a+0=a, a·1=a
Inverso: a+(-a)=0, a·a^-1=1

Valor Absoluto

|a| = a si a ≥ 0, |a| = -a si a < 0

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Clasificar: 7, -3, 2/3, π , 0

7 ∈ N, Z, Q, R | -3 ∈ Z, Q, R | 2/3 ∈ Q, R | π ∈ I, R | 0 ∈ Z, Q, R

Ej 2 Propiedad distributiva: 3(x + 5)

3(x + 5) = 3x + 15

Ej 3 Calcular |−7| y |3|

|−7| = 7 |3| = 3

Ejercicios Interactivos

1 A que conjunto pertenece −5? (selecciona el mas especifico)

2 Que propiedad aplica? 5 + (3 + 2) = (5 + 3) + 2

3 Cuanto es |−12|?

4 Aplicar distributiva: 4(2x − 3)

5 √2 es un numero racional?

Intervalos

Abierto: (a,b) = {x : a < x < b}

Cerrado: [a,b] = {x : a ≤ x ≤ b}

Semiabierto: (a,b] ó [a,b)

Infinitos: (a,∞), (−∞,b], R = (−∞,∞)

Potenciacion

aⁿ · a^m = a^n+m

aⁿ / a^m = a^n−m

(aⁿ)^m = a^n·m

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

(a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

a⁰ = 1 (a ≠ 0)

Radicacion

ⁿ√a = a^1/n

ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b

ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b

(ⁿ√a)^m = ⁿ√a^m

Para indice par, el radicando debe ser ≥ 0. Para indice impar, no hay restriccion.

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Escribir como intervalo: "x es mayor que 2 y menor o igual que 5"

x ∈ (2, 5]

Ej 2 Simplificar: x³ · x⁻² · x⁴

x^{3 + (−2) + 4} = x⁵

Ej 3 Calcular √16 + ³√8

√16 = 4, ³√8 = 2, resultado = 6

Ejercicios Interactivos

1 Que tipo de intervalo es [3, 7)?

2 Simplificar: x⁵ / x²

3 Calcular: √25 + ³√27

4 Cuanto vale 5⁰?

5 Escribir como potencia: ³√(x²)

Expresiones Algebraicas

Combinacion de numeros, variables y operaciones. Ej: 3x² − 2x + 1.

Valor numerico: reemplazar la variable por un numero y operar.

Casos de Factoreo

Factor comun: ax + ay = a(x + y)

Diferencia de cuadrados: a² − b² = (a+b)(a−b)

TCP: a² + 2ab + b² = (a+b)²

Suma/Resta de cubos: a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

Ecuaciones

Lineal: ax + b = 0 ⇒ x = −b/a

Cuadratica: ax² + bx + c = 0 ⇒ x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Discriminante Δ = b² − 4ac: Δ > 0 (2 soluciones reales), Δ = 0 (1 solucion), Δ < 0 (complejas).

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Factorizar: x² − 9

x² − 9 = (x+3)(x−3) (diferencia de cuadrados)

Ej 2 Resolver: 2x + 5 = 13

2x = 8 ⇒ x = 4

Ej 3 Resolver: x² − 5x + 6 = 0

(x−2)(x−3) = 0 ⇒ x = 2 ó x = 3

Ejercicios Interactivos

1 Factorizar: x² − 25

2 Resolver: 3x − 7 = 14

3 Resolver: x² − 4 = 0

4 Valor numerico de 2a + 3b si a=5, b=−2

5 Cual es el discriminante de x² − 4x + 4?

Sistemas de Numeracion

Decimal (base 10): digitos 0–9, sistema habitual.
Binario (base 2): digitos 0 y 1, base de la computacion.
Hexadecimal (base 16): digitos 0–9 y letras A–F.

Conversiones

Decimal → Binario: Dividir entre 2, leer restos al reves.
Binario → Decimal: Sumar (digito × 2^posicion).
Decimal → Hex: Dividir entre 16, 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F.
Hex → Decimal: Sumar (digito × 16^posicion).

Conversor Interactivo

→

Referencia Rapida

27 decimal

11011

64 decimal

1000000

255 decimal

FF

Ejercicios Interactivos

1 Convertir 13 decimal a binario

2 Convertir 1010₂ a decimal

3 Convertir 255 decimal a hexadecimal

4 Convertir 2A₁₆ a decimal

Teoria de Conjuntos

Un conjunto es una coleccion de objetos llamados elementos.

A = {1, 2, 3} | x ∈ A (pertenece) | x ∉ A (no pertenece)
A ⊆ B (subconjunto: todos los elementos de A estan en B)
∅ (conjunto vacio) | U (conjunto universal)

Operaciones

Union: A ∪ B = elementos de A o B (o ambos)

Interseccion: A ∩ B = elementos comunes

Complemento: A' = elementos que no estan en A

Diferencia: A − B = en A pero no en B

Leyes de Morgan

(A ∪ B)' = A' ∩ B' | (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Algebra de Boole

Valores binarios {0, 1} con operaciones:

OR (+)
0+0=0
0+1=1
1+1=1

AND (·)
0·0=0
0·1=0
1·1=1

NOT (')
0' = 1
1' = 0

Leyes de Morgan en Boole

(A + B)' = A' · B' | (A · B)' = A' + B'

Generador de Tablas de Verdad

Usa: A, B, C como variables. + para OR, · para AND, ' para NOT.

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Dados A = {1,2,3}, B = {2,3,4}. Hallar A ∪ B y A ∩ B

A ∪ B = {1, 2, 3, 4} A ∩ B = {2, 3}

Ej 2 U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2}, B = {2,3}. Verificar Morgan: (A ∪ B)' = A' ∩ B'

A ∪ B = {1,2,3} ⇒ (A ∪ B)' = {4,5}
A' = {3,4,5}, B' = {1,4,5} ⇒ A' ∩ B' = {4,5}

Ej 3 Tabla de verdad de A + B

A=0,B=0 → 0 | A=0,B=1 → 1 | A=1,B=0 → 1 | A=1,B=1 → 1

Ejercicios Interactivos

1 A = {1,3,5}, B = {3,5,7}. Cuantos elementos tiene A ∪ B?

2 A = {2,4}, B = {1,2,3,4}. A ⊆ B?

3 Boole: 1 · 0 = ?

4 Boole: 1 + 1 = ?

Sistemas 2x2

{ a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂ }

Resolver es hallar el par (x, y) que satisface ambas ecuaciones simultaneamente.

Clasificacion

Compatible Determinado
Una unica solucion
Las rectas se cruzan

Compatible Indeterminado
Infinitas soluciones
Rectas coincidentes

Incompatible
Sin solucion
Rectas paralelas

Metodo de sustitucion

1. Despejar una variable de una ecuacion.
2. Reemplazar en la otra ecuacion.
3. Resolver la ecuacion resultante.
4. Hallar la otra variable.

Solver paso a paso

Ingresa los coeficientes del sistema:

x + y =

Ejercicios Interactivos

1 Resolver: { x + y = 5 x − y = 1 } Cuanto vale x?

2 El sistema { 2x + 4y = 6 x + 2y = 3 } es:

3 Es P = (2,1) solucion de { 2x + y = 5 x − y = 1 }?

Definicion

Una matriz es un arreglo rectangular de numeros en filas y columnas.

A_m×n = (a_ij) con i = 1..m, j = 1..n
m = filas, n = columnas

Tipos de Matrices

Fila: 1 × n | Columna: m × 1
Cuadrada: m = n
Identidad I_n: 1s en diagonal, 0s en el resto
Triangular superior/inferior: ceros debajo/encima de la diagonal
Nula: todos sus elementos son 0

Operaciones

Suma: C = A + B (misma dimension)
c_ij = a_ij + b_ij

Producto escalar: C = k · A

Producto matricial:
A_m×n · B_n×p = C_m×p

Transpuesta: (A^T)_ij = A_ji

Determinante e Inversa 2x2

det(A) = a·d − b·c para A = [a b; c d]

A⁻¹ = (1/det(A)) · [d −b; −c a] (si det(A) ≠ 0)

Si det(A) = 0, la matriz NO tiene inversa (es singular).

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Dimension de A = [1 4; 2 −5]

2 filas, 2 columnas ⇒ 2 × 2

Ej 2 Sumar [1 2; 3 4] + [5 6; 7 8]

[1+5 2+6; 3+7 4+8] = [6 8; 10 12]

Ej 3 Calcular determinante de [3 4; 2 1]

det = 3·1 − 4·2 = 3 − 8 = −5

Ejercicios Interactivos

1 Dimension de [1 2 3; 4 5 6]

2 Calcular det([2 0; 1 3])

3 Se pueden multiplicar A_2×3 y B_3×4?

Definicion de Funcion

Una funcion f: A → B asigna a cada x ∈ A exactamente un f(x) ∈ B.

Dominio Dom(f) = {x ∈ A : f(x) esta definido}
Imagen Img(f) = {f(x) : x ∈ Dom(f)}
Variable independiente: x | Dependiente: y = f(x)

Prueba de la recta vertical: si una recta vertical corta el grafico en mas de un punto, NO es funcion.

Restricciones del Dominio

Denominador nulo: si f(x) = p(x)/q(x), debe ser q(x) ≠ 0.
Raiz de indice par: si f(x) = ²ⁿ√g(x), debe ser g(x) ≥ 0.
Logaritmo: argumento > 0 (lo veremos mas adelante).

Funciones Elementales

Constante: f(x) = k
Dom = R, Img = {k}

Lineal: f(x) = mx + b
Dom = R, Img = R

Cuadratica: f(x) = x²
Dom = R, Img = [0, ∞)

Cubica: f(x) = x³
Dom = R, Img = R

Raiz cuadrada: f(x) = √x
Dom = [0, ∞), Img = [0, ∞)

Valor absoluto: f(x) = |x|
Dom = R, Img = [0, ∞)

Racional: f(x) = 1/x
Dom = R−{0}, Img = R−{0}

Raiz cubica: f(x) = ³√x
Dom = R, Img = R

Transformaciones de Funciones

Dado el grafico de y = f(x):

Traslacion vertical: f(x) + k
k > 0: arriba, k < 0: abajo

Traslacion horizontal: f(x − h)
h > 0: derecha, h < 0: izquierda

Reflexion en x: −f(x)

Reflexion en y: f(−x)

Escalado vertical: c · f(x)
c > 1: alarga, 0 < c < 1: comprime

Valor absoluto: |f(x)|
Refleja parte negativa sobre eje x

Graficador de Funciones

f(x) =

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Hallar dominio de f(x) = (2x+1)/(x−3)

Denominador: x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3
Dom = R − {3} = (−∞, 3) ∪ (3, ∞)

Ej 2 Hallar dominio de f(x) = √(4 − x)

Radicando: 4 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
Dom = (−∞, 4]

Ej 3 Dada f(x) = x², identificar transformaciones de g(x) = −(x−3)² + 2

1. x−3: traslacion 3 unidades a la derecha
2. Signo −: reflexion sobre el eje x
3. +2: traslacion 2 unidades hacia arriba

Ejercicios Interactivos

1 Dominio de f(x) = 1/(x − 5)

2 Dominio de f(x) = √(x + 3)

3 g(x) = f(x) + 3 es una traslacion:

4 g(x) = −f(x) produce:

5 El grafico de y = x² pasa la prueba de la recta vertical?

Definicion de Funcion Lineal

Sean m, b ∈ ℝ fijos. Se llama función lineal a toda función f: ℝ → ℝ tal que para cada x ∈ ℝ:

f(x) = mx + b

El gráfico de una función lineal es una recta no vertical.

m se llama pendiente. Representa la proporción de cambio vertical respecto al cambio horizontal.
b se llama ordenada al origen.
Si m = 0, la recta es horizontal y su ecuación es y = b.
La recta vertical de ecuación x = x₀ no es una función lineal.

Intersecciones con los Ejes

Si la recta intersecta a ambos ejes, se dice que es oblicua.

Eje y: siempre hay intersección en el punto (0, b)
Eje x: resolvemos mx + b = 0 ⇒ x = −b/m. Punto (r, 0) con r ∈ ℝ

Para hallar intersección con eje y: reemplazar x = 0. Para eje x: hacer f(x) = 0.

Ecuación de la Recta

Punto-Pendiente: con pendiente m que pasa por P(x₁, y₁):

y = m(x − x₁) + y₁

Dos puntos: que pasa por P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂):

y = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) · (x − x₁) + y₁

Pendiente: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Ángulo de Inclinación

Es el ángulo α que la recta forma con el semieje x positivo, medido en sentido anti-horario.

m = tg(α)

Si m > 0 ⇒ 0 < α < π/2
Si m = 0 ⇒ α = 0
Si m < 0 ⇒ π/2 < α < π

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Dadas dos rectas r₁: y = m₁x + b₁ y r₂: y = m₂x + b₂:

Paralelas:
m₁ = m₂

Perpendiculares:
m₁ · m₂ = −1

Si m₁ = m₂ y b₁ = b₂, las rectas son coincidentes (la misma recta).

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Identificar pendiente y ordenada de y = −3/4 x + 3

Pendiente m = −3/4, ordenada al origen b = 3. La recta intersecta al eje y en (0, 3).

Ej 2 Hallar intersecciones de f(x) = −3/4 x + 3

Eje y: x = 0 ⇒ f(0) = 3 ⇒ punto (0, 3)
Eje x: f(x) = 0 ⇒ −3/4 x + 3 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ punto (4, 0)

Ej 3 Recta con pendiente 2 que pasa por (1, −3)

Usando punto-pendiente: y = 2(x − 1) + (−3) = 2x − 2 − 3 = 2x − 5

Ej 4 Recta que pasa por (−1, 8) y (4, −2)

Pendiente: m = (−2 − 8)/(4 − (−1)) = −10/5 = −2
Usando punto (−1, 8): y = −2(x − (−1)) + 8 = −2x + 6

Ej 5 Recta paralela a y = 2x − 2 que pasa por (0, 3)

Paralela ⇒ misma pendiente m = 2. Punto (0, 3): y = 2(x − 0) + 3 = 2x + 3

Ej 6 Recta perpendicular a y = 2x − 2 que pasa por (0, 3)

Perpendicular ⇒ m₁ · m₂ = −1 ⇒ 2 · m₂ = −1 ⇒ m₂ = −1/2
y = −1/2(x − 0) + 3 = −1/2 x + 3

Ejercicios Interactivos

1 ¿La ecuación y = 4x + 1 corresponde a una función lineal?

2 En y = 4x + 1, ¿cuál es la pendiente?

3 En y = 4x + 1, ¿cuál es la ordenada al origen?

4 La recta y = 8 es de tipo:

5 Pendiente de una recta paralela a y = 2x − 3

6 Pendiente de una recta perpendicular a y = 3x + 4

Definicion de Funcion Cuadratica

Sean a, b, c ∈ ℝ con a ≠ 0. Se llama función cuadrática a toda función f: ℝ → ℝ tal que:

f(x) = ax² + bx + c (forma polinómica)

El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

a determina la concavidad: a > 0 → cóncava hacia arriba, a < 0 → cóncava hacia abajo.
c es la ordenada al origen: intersección con eje y en (0, c).
El dominio son todos los reales: Dom = ℝ

Forma Canónica y Vértice

La función cuadrática puede expresarse en forma canónica:

f(x) = a(x − h)² + k

donde el vértice de la parábola es el punto V(h, k):

h = −b/(2a) k = c − b²/(4a) = f(h)

El eje de simetría es la recta vertical x = h.

Intersecciones con los Ejes

Eje y: siempre hay intersección en (0, c).
Eje x: resolvemos ax² + bx + c = 0 usando la fórmula de Baskara:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

El término Δ = b² − 4ac se llama discriminante:

Δ > 0 → dos raíces reales distintas (la parábola cruza el eje x en 2 puntos).
Δ = 0 → una raíz real doble (el vértice está sobre el eje x).
Δ < 0 → sin raíces reales (la parábola no toca el eje x).

Forma Factorizada

Si se conocen las raíces x₁ y x₂, la función puede expresarse como:

f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

El vértice también puede calcularse desde las raíces:

h = (x₁ + x₂)/2 k = f(h)

Signo de la Funcion Cuadratica

Para analizar el signo (dónde es positiva o negativa), se usa la forma factorizada y la regla de los signos.

Si a > 0 (concavidad positiva):

f(x) > 0 en (−∞, x₁) ∪ (x₂, ∞)
f(x) < 0 en (x₁, x₂)

Si a < 0 (concavidad negativa), los intervalos se invierten.

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Hallar vértice y eje de simetría de f(x) = 2x² − 4x + 5

Coeficientes: a = 2, b = −4, c = 5
h = −b/(2a) = −(−4)/(2·2) = 4/4 = 1
k = f(1) = 2(1)² − 4(1) + 5 = 2 − 4 + 5 = 3
Vértice: V(1, 3). Eje de simetría: x = 1.
Forma canónica: f(x) = 2(x − 1)² + 3

Ej 2 Raíces y gráfico de f(x) = x² − 2x − 3

a = 1, b = −2, c = −3
Δ = (−2)² − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0 (dos raíces)
x = (2 ± 4)/2 ⇒ x₁ = 3, x₂ = −1
Vértice: h = (3 + (−1))/2 = 1, k = f(1) = −4 ⇒ V(1, −4)
Forma factorizada: f(x) = (x + 1)(x − 3)
Forma canónica: f(x) = (x − 1)² − 4

Ej 3 Signo de f(x) = x² − 2x − 3

Raíces: x₁ = −1, x₂ = 3. a = 1 > 0 (concavidad positiva).
f(x) > 0 en (−∞, −1) ∪ (3, ∞)
f(x) < 0 en (−1, 3)

Ej 4 Pasar a forma canónica: f(x) = −3x² + 6x − 3

a = −3, b = 6, c = −3
h = −6/(2(−3)) = −6/(−6) = 1
k = −3(1)² + 6(1) − 3 = −3 + 6 − 3 = 0
Forma canónica: f(x) = −3(x − 1)²
Δ = 36 − 36 = 0 ⇒ una raíz doble: x = 1

Ejercicios Interactivos

1 En la forma polinómica f(x) = ax² + bx + c, ¿qué condición debe cumplir a?

2 En f(x) = 2x² − 4x + 5, ¿cuál es el coeficiente a?

3 Fórmula de la abscisa del vértice (x_v):

4 Si Δ > 0, ¿cuántas raíces reales tiene la función?

5 Raíces de f(x) = x² + 2x − 3 (separadas por coma)

6 Forma factorizada con raíces x₁ = −3, x₂ = 1 (con a = 1)

Funciones Exponenciales

Una funcion exponencial tiene la forma:

f(x) = a^x, donde a > 0 y a ≠ 1

Dominio: todos los reales (R)
Imagen: positivos (0, ∞)
Si a > 1: función creciente
Si 0 < a < 1: función decreciente
Intersección con eje y: (0, 1)
Asíntota horizontal: eje y (y = 0)

Funciones Logarítmicas

Una funcion logarítmica tiene la forma:

f(x) = log_a(x), donde a > 0, a ≠ 1 y x > 0

Dominio: positivos (0, ∞)
Imagen: todos los reales (R)
Si a > 1: función creciente
Si 0 < a < 1: función decreciente
Intersección con eje x: (1, 0)
Asíntota vertical: x = 0

Relación entre Exp y Log

Las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas:

y = a^x ⇔ x = log_a(y)

Propiedades clave:

a^(log_a(x)) = x, para x > 0
log_a(a^x) = x, para todo x real
log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)
log_a(x^b) = b·log_a(x)

Logaritmo Natural y Exponencial Natural

Base especial: e ≈ 2.71828...

f(x) = e^x y f(x) = ln(x)

e^x es su propia derivada: d/dx(e^x) = e^x
ln(x) tiene derivada 1/x: d/dx(ln(x)) = 1/x
ln(e^x) = x y e^(ln(x)) = x

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Graficar f(x) = 2^x y identificar sus características

Dominio: R, Imagen: (0, ∞)
Intersección con eje y: (0, 1)
Asíntota horizontal: y = 0
Función creciente (ya que 2 > 1)
Puntos característicos: (-2, 1/4), (-1, 1/2), (0, 1), (1, 2), (2, 4)

Ej 2 Graficar f(x) = (1/2)^x y identificar sus características

Dominio: R, Imagen: (0, ∞)
Intersección con eje y: (0, 1)
Asíntota horizontal: y = 0
Función decreciente (ya que 0 < 1/2 < 1)
Puntos característicos: (-2, 4), (-1, 2), (0, 1), (1, 1/2), (2, 1/4)

Ej 3 Resolver la ecuación 3^x = 81

3^x = 81
3^x = 3^4 (porque 81 = 3^4)
x = 4

Ej 4 Resolver la ecuación log_2(x) = 5

log_2(x) = 5
x = 2^5 (por definición de logaritmo)
x = 32

Ej 5 Expandir: log_3(9x^2/y)

log_3(9x^2/y)
= log_3(9) + log_3(x^2) - log_3(y) (propiedad de cociente y producto)
= log_3(3^2) + 2·log_3(x) - log_3(y)
= 2 + 2·log_3(x) - log_3(y)

Ejercicios Interactivos

1 La función f(x) = 3^x es:

2 La función f(x) = (1/3)^x es:

3 La imagen de f(x) = 5^x es:

4 El dominio de f(x) = log_4(x) es:

5 log_5(125) = ?

6 2^log_2(8) = ?

Experimento Aleatorio

Un experimento cuya resultado no se puede predecir con certeza, pero cuyos posibles resultados son conocidos.

Resultado elemental: cada posible resultado del experimento
Espacio muestral (S): conjunto de todos los resultados elementales posibles
Evento: subconjunto del espacio muestral

Probabilidad de un Evento

Si todos los resultados elementales son igualmente probables:

P(E) = número de resultados favorables / número total de resultados

donde E es el evento y S es el espacio muestral.

0 ≤ P(E) ≤ 1
P(E) = 0 significa que el evento es imposible
P(E) = 1 significa que el evento es seguro
P(S) = 1 (probabilidad del espacio muestral)
P(∅) = 0 (probabilidad del evento imposible)

Eventos Complementarios

Dados un evento E, su complemento E' (o Ē) consiste en todos los resultados de S que no están en E.

P(E') = 1 - P(E)

Regla de Adición

Para cualquier par de eventos A y B:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Si A y B son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir al mismo tiempo):

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Probabilidad Condicional

La probabilidad de que ocurra A dado que ya ocurrió B es:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), siempre que P(B) > 0

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Al lanzar un dado justo, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?

Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 resultados)
Evento E = {2, 4, 6} (3 resultados favorables)
P(E) = 3/6 = 1/2

Ej 2 En una baraja de 40 cartas (sin 8, 9 y 10), ¿cuál es la probabilidad de sacar un rey?

Hay 4 reyes en la baraja
Espacio muestral: 40 cartas
P(rey) = 4/40 = 1/10

Ej 3 Al lanzar dos dados justos, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?

Espacio muestral: 36 resultados posibles (6×6)
Resultados que dan suma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 resultados
P(suma=7) = 6/36 = 1/6

Ej 4 En una clase hay 15 chicas y 10 chicos. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

Total de estudiantes: 15 + 10 = 25
Número de chicas: 15
P(chica) = 15/25 = 3/5

Ej 5 Se sabe que P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 y P(A ∩ B) = 0.2. Calcular P(A ∪ B).

Usando la regla de adición:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7

Ejercicios Interactivos

1 Al lanzar una moneda justa, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara?

2 En una baraja española de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar un as?

3 Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un doble (ambos dados iguales)?

4 En una urna hay 5 bolas rojas y 3 azules. Se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?

5 Si P(A) = 0.3 y P(B) = 0.4 y A y B son mutuamente excluyentes, ¿cuál es P(A ∪ B)?

6 En un grupo de 20 personas, 8 usan lentes. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar use lentes?

Población y Muestra

Población: conjunto de todos los elementos que comparten una o más características de interés para el estudio. Cada elemento se denomina unidad estadística. La población puede ser finita o infinita.

Muestra: subconjunto de la población, seleccionado con el propósito de obtener información sobre ella. El número de elementos se denomina tamaño muestral (n).

Población = todos los elementos del grupo de estudio
Muestra = subconjunto representativo de la población

Parámetro y Estadístico

Parámetro: medida numérica que describe una característica de la población. Se calcula sobre la totalidad de los elementos. Se representa con letras griegas: μ (media poblacional), σ (desviación estándar), p (proporción poblacional).

Estadístico (o estadístico muestral): medida numérica calculada a partir de los datos de la muestra. Se usa para estimar el parámetro correspondiente. Se representa con letras latinas: x̄ (media muestral), s (desviación muestral), p̂ (proporción muestral).

Error de muestreo = |x̄ - μ| (diferencia entre estadístico muestral y parámetro poblacional)

Marco Muestral

El marco muestral es la lista, mapa o base de datos que contiene a todos los elementos de la población de los cuales se pueden seleccionar unidades para la muestra. Es el punto de partida operativo del muestreo.

Un marco muestral ideal debe ser:

Completo: incluir a todos los elementos de la población objetivo
Sin duplicados: cada elemento debe aparecer una sola vez
Actualizado: reflejar el estado actual de la población
Preciso: los datos de contacto o localización deben ser correctos

Error de Muestreo y Error No Muestral

Error de muestreo: diferencia entre el valor del estadístico muestral y el valor real del parámetro poblacional. Es inherente al proceso de muestrear (solo se elimina con un censo).

Error no muestral: errores que no dependen del muestreo en sí, sino de otras causas como:

Errores de medición o registro
Falta de respuesta (no respuesta)
Marco muestral incompleto o desactualizado
Sesgo del entrevistador

Muestreo Aleatorio Simple (MAS)

Cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Se utiliza una tabla de números aleatorios o un generador informático.

Procedimiento:

Numerar todos los elementos de la población del 1 a N
Generar o seleccionar n números aleatorios en el rango [1, N]
Los elementos correspondientes a esos números forman la muestra

Probabilidad de selección: P = n/N (cada elemento tiene probabilidad n/N de ser incluido)

Muestreo Sistemático

Se selecciona un punto de inicio aleatorio y luego se toman elementos a intervalos regulares.

Procedimiento:

Calcular el intervalo de muestreo: k = N/n (se redondea al entero más cercano)
Elegir un número de inicio aleatorio r entre 1 y k
Seleccionar los elementos: r, r+k, r+2k, r+3k, ... hasta completar n elementos

Riesgo: si los datos tienen una periodicidad oculta que coincide con k, la muestra puede estar sesgada.

Muestreo Estratificado

Se divide la población en subgrupos homogéneos llamados estratos y se selecciona una muestra de cada estrato.

Afijación proporcional: el tamaño de la muestra en cada estrato es proporcional al tamaño del estrato en la población.

n_h = (N_h / N) × n

donde N_h es el tamaño del estrato h, N es el total poblacional y n es el tamaño muestral total.

Muestreo por Conglomerados

Se divide la población en grupos llamados conglomerados (ej: manzanas, aulas, sucursales). Se seleccionan aleatoriamente algunos conglomerados y se estudian todos los elementos de los conglomerados seleccionados.

Diferencia clave con el estratificado:

Estratificado: los estratos son homogéneos internamente pero heterogéneos entre sí. Se muestrean todos los estratos
Conglomerados: los conglomerados son heterogéneos internamente pero similares entre sí. Se muestrean solo algunos conglomerados

Ejemplos Resueltos

Ej 1 Una empresa de desarrollo de software tiene N = 600 empleados. Un analista selecciona aleatoriamente n = 60 empleados para una encuesta de satisfacción. El promedio obtenido en la muestra es x̄ = 7.4 sobre 10. El promedio real de toda la empresa es μ = 7.8. Identificar población, muestra, parámetro, estadístico y error de muestreo.

Población: los 600 empleados de la empresa
Muestra: los 60 empleados seleccionados
Parámetro: μ = 7.8 (media poblacional)
Estadístico: x̄ = 7.4 (media muestral)
Error de muestreo: |7.4 - 7.8| = 0.4

Ej 2 Un instituto tiene N = 400 alumnos numerados del 1 al 400. Se necesita una muestra de n = 5 usando MAS. Usar la fila de números aleatorios: 836 491 205 372 614 089 743 157 328 566.

Procedimiento:
1. Se toman números de 3 dígitos (porque N=400 tiene 3 dígitos)
2. Se descartan números > 400 y repetidos
3. 205 ✓, 372 ✓, 089 ✓ (se toma como 89), 157 ✓, 328 ✓
4. Alumnos seleccionados: 205, 372, 89, 157, 328

Ej 3 Una empresa recibe N = 840 pedidos por semana. El responsable de calidad quiere inspeccionar n = 30 pedidos mediante muestreo sistemático. Calcular k y determinar los primeros 5 pedidos si r = 11.

k = N/n = 840/30 = 28
r = 11 (inicio aleatorio)
Primeros 5 seleccionados: 11, 39, 67, 95, 123
Expresión general: r + (i-1)·k para i = 1, 2, ..., n

Ej 4 Una facultad tiene N = 900 alumnos distribuidos en: Programación (360), Administración (270), Diseño (270). Se toma una muestra de n = 180 con afijación proporcional. Calcular cuántos alumnos seleccionar de cada carrera.

Programación: (360/900) × 180 = 72 alumnos
Administración: (270/900) × 180 = 54 alumnos
Diseño: (270/900) × 180 = 54 alumnos
Total: 72 + 54 + 54 = 180 ✓

Ejercicios Interactivos

1 En un estudio con N = 600 empleados se seleccionan n = 60. El promedio de satisfacción muestral es x̄ = 7.4 y el poblacional es μ = 7.8. ¿Cuál es el error de muestreo?

2 De N = 400 alumnos numerados del 1 al 400, se seleccionan n = 5 usando MAS. Usando la fila 836 491 205 372 614 089 743 157 328 566, ¿cuál es el TERCER alumno seleccionado (sin contar descartados)?

3 Con N = 840 y n = 30 en muestreo sistemático, ¿cuál es el intervalo de muestreo k?

4 Para N = 840, n = 30 y r = 11 en muestreo sistemático, ¿cuál es el CUARTO elemento seleccionado?

5 Una facultad tiene N = 900 (Programación: 360, Administración: 270, Diseño: 270). Con n = 180 por afijación proporcional, ¿cuántos alumnos se seleccionan de Programación?

6 Si un alumno específico (N° 089) está entre los N = 400 y se seleccionan n = 5 con MAS, ¿cuál es la probabilidad de que sea incluido en la muestra? (expresar como fracción)

Numeros Reales