- Naturales (N) = {1, 2, 3, 4, ...} - para contar elementos.
- Enteros (Z) = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} - incluye negativos.
- Racionales (Q) = {p/q : p,q en Z, q distinto 0} - fracciones.
- Irracionales (I) - decimales no periodicos (π, √2, e).
- Reales (R) = Q ∪ I - todos los numeros.
a + b = b + a
a · b = b · a
(a+b)+c = a+(b+c)
(a·b)·c = a·(b·c)
a(b + c) = a·b + a·c
Neutro: a+0=a, a·1=a
Inverso: a+(-a)=0, a·a-1=1
7 ∈ N, Z, Q, R | -3 ∈ Z, Q, R | 2/3 ∈ Q, R | π ∈ I, R | 0 ∈ Z, Q, R
3(x + 5) = 3x + 15
|−7| = 7 |3| = 3
x ∈ (2, 5]
x3 + (−2) + 4 = x5
√16 = 4, 3√8 = 2, resultado = 6
Combinacion de numeros, variables y operaciones. Ej: 3x2 − 2x + 1.
x2 − 9 = (x+3)(x−3) (diferencia de cuadrados)
2x = 8 ⇒ x = 4
(x−2)(x−3) = 0 ⇒ x = 2 ó x = 3
- Decimal (base 10): digitos 0–9, sistema habitual.
- Binario (base 2): digitos 0 y 1, base de la computacion.
- Hexadecimal (base 16): digitos 0–9 y letras A–F.
Binario → Decimal: Sumar (digito × 2posicion).
Decimal → Hex: Dividir entre 16, 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F.
Hex → Decimal: Sumar (digito × 16posicion).
Un conjunto es una coleccion de objetos llamados elementos.
A ⊆ B (subconjunto: todos los elementos de A estan en B)
∅ (conjunto vacio) | U (conjunto universal)
(A ∪ B)' = A' ∩ B' | (A ∩ B)' = A' ∪ B'
Valores binarios {0, 1} con operaciones:
0+0=0
0+1=1
1+1=1
0·0=0
0·1=0
1·1=1
0' = 1
1' = 0
(A + B)' = A' · B' | (A · B)' = A' + B'
A ∪ B = {1, 2, 3, 4} A ∩ B = {2, 3}
A ∪ B = {1,2,3} ⇒ (A ∪ B)' = {4,5}
A' = {3,4,5}, B' = {1,4,5} ⇒ A' ∩ B' = {4,5}
A=0,B=0 → 0 | A=0,B=1 → 1 | A=1,B=0 → 1 | A=1,B=1 → 1
a2x + b2y = c2 }
Resolver es hallar el par (x, y) que satisface ambas ecuaciones simultaneamente.
Una unica solucion
Las rectas se cruzan
Infinitas soluciones
Rectas coincidentes
Sin solucion
Rectas paralelas
2. Reemplazar en la otra ecuacion.
3. Resolver la ecuacion resultante.
4. Hallar la otra variable.
Ingresa los coeficientes del sistema:
Una matriz es un arreglo rectangular de numeros en filas y columnas.
m = filas, n = columnas
- Fila: 1 × n | Columna: m × 1
- Cuadrada: m = n
- Identidad In: 1s en diagonal, 0s en el resto
- Triangular superior/inferior: ceros debajo/encima de la diagonal
- Nula: todos sus elementos son 0
cij = aij + bij
Am×n · Bn×p = Cm×p
2 filas, 2 columnas ⇒ 2 × 2
[1+5 2+6; 3+7 4+8] = [6 8; 10 12]
det = 3·1 − 4·2 = 3 − 8 = −5
Una funcion f: A → B asigna a cada x ∈ A exactamente un f(x) ∈ B.
Imagen Img(f) = {f(x) : x ∈ Dom(f)}
Variable independiente: x | Dependiente: y = f(x)
- Denominador nulo: si f(x) = p(x)/q(x), debe ser q(x) ≠ 0.
- Raiz de indice par: si f(x) = 2n√g(x), debe ser g(x) ≥ 0.
- Logaritmo: argumento > 0 (lo veremos mas adelante).
Dom = R, Img = {k}
Dom = R, Img = R
Dom = R, Img = [0, ∞)
Dom = R, Img = R
Dom = [0, ∞), Img = [0, ∞)
Dom = R, Img = [0, ∞)
Dom = R−{0}, Img = R−{0}
Dom = R, Img = R
Dado el grafico de y = f(x):
k > 0: arriba, k < 0: abajo
h > 0: derecha, h < 0: izquierda
c > 1: alarga, 0 < c < 1: comprime
Refleja parte negativa sobre eje x
Denominador: x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3
Dom = R − {3} = (−∞, 3) ∪ (3, ∞)
Radicando: 4 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4
Dom = (−∞, 4]
1. x−3: traslacion 3 unidades a la derecha
2. Signo −: reflexion sobre el eje x
3. +2: traslacion 2 unidades hacia arriba
Sean m, b ∈ ℝ fijos. Se llama función lineal a toda función f: ℝ → ℝ tal que para cada x ∈ ℝ:
El gráfico de una función lineal es una recta no vertical.
- m se llama pendiente. Representa la proporción de cambio vertical respecto al cambio horizontal.
- b se llama ordenada al origen.
- Si m = 0, la recta es horizontal y su ecuación es y = b.
- La recta vertical de ecuación x = x0 no es una función lineal.
Si la recta intersecta a ambos ejes, se dice que es oblicua.
- Eje y: siempre hay intersección en el punto (0, b)
- Eje x: resolvemos mx + b = 0 ⇒ x = −b/m. Punto (r, 0) con r ∈ ℝ
Punto-Pendiente: con pendiente m que pasa por P(x1, y1):
Dos puntos: que pasa por P1(x1, y1) y P2(x2, y2):
Es el ángulo α que la recta forma con el semieje x positivo, medido en sentido anti-horario.
- Si m > 0 ⇒ 0 < α < π/2
- Si m = 0 ⇒ α = 0
- Si m < 0 ⇒ π/2 < α < π
Dadas dos rectas r1: y = m1x + b1 y r2: y = m2x + b2:
m1 = m2
m1 · m2 = −1
Si m1 = m2 y b1 = b2, las rectas son coincidentes (la misma recta).
Pendiente m = −3/4, ordenada al origen b = 3. La recta intersecta al eje y en (0, 3).
Eje y: x = 0 ⇒ f(0) = 3 ⇒ punto (0, 3)
Eje x: f(x) = 0 ⇒ −3/4 x + 3 = 0 ⇒ x = 4 ⇒ punto (4, 0)
Usando punto-pendiente: y = 2(x − 1) + (−3) = 2x − 2 − 3 = 2x − 5
Pendiente: m = (−2 − 8)/(4 − (−1)) = −10/5 = −2
Usando punto (−1, 8): y = −2(x − (−1)) + 8 = −2x + 6
Paralela ⇒ misma pendiente m = 2. Punto (0, 3): y = 2(x − 0) + 3 = 2x + 3
Perpendicular ⇒ m1 · m2 = −1 ⇒ 2 · m2 = −1 ⇒ m2 = −1/2
y = −1/2(x − 0) + 3 = −1/2 x + 3
Sean a, b, c ∈ ℝ con a ≠ 0. Se llama función cuadrática a toda función f: ℝ → ℝ tal que:
El gráfico de una función cuadrática es una parábola.
- a determina la concavidad: a > 0 → cóncava hacia arriba, a < 0 → cóncava hacia abajo.
- c es la ordenada al origen: intersección con eje y en (0, c).
- El dominio son todos los reales: Dom = ℝ
La función cuadrática puede expresarse en forma canónica:
donde el vértice de la parábola es el punto V(h, k):
El eje de simetría es la recta vertical x = h.
- Eje y: siempre hay intersección en (0, c).
- Eje x: resolvemos ax2 + bx + c = 0 usando la fórmula de Baskara:
El término Δ = b2 − 4ac se llama discriminante:
- Δ > 0 → dos raíces reales distintas (la parábola cruza el eje x en 2 puntos).
- Δ = 0 → una raíz real doble (el vértice está sobre el eje x).
- Δ < 0 → sin raíces reales (la parábola no toca el eje x).
Si se conocen las raíces x1 y x2, la función puede expresarse como:
El vértice también puede calcularse desde las raíces:
Para analizar el signo (dónde es positiva o negativa), se usa la forma factorizada y la regla de los signos.
Si a > 0 (concavidad positiva):
- f(x) > 0 en (−∞, x1) ∪ (x2, ∞)
- f(x) < 0 en (x1, x2)
Si a < 0 (concavidad negativa), los intervalos se invierten.
Coeficientes: a = 2, b = −4, c = 5
h = −b/(2a) = −(−4)/(2·2) = 4/4 = 1
k = f(1) = 2(1)2 − 4(1) + 5 = 2 − 4 + 5 = 3
Vértice: V(1, 3). Eje de simetría: x = 1.
Forma canónica: f(x) = 2(x − 1)2 + 3
a = 1, b = −2, c = −3
Δ = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0 (dos raíces)
x = (2 ± 4)/2 ⇒ x1 = 3, x2 = −1
Vértice: h = (3 + (−1))/2 = 1, k = f(1) = −4 ⇒ V(1, −4)
Forma factorizada: f(x) = (x + 1)(x − 3)
Forma canónica: f(x) = (x − 1)2 − 4
Raíces: x1 = −1, x2 = 3. a = 1 > 0 (concavidad positiva).
f(x) > 0 en (−∞, −1) ∪ (3, ∞)
f(x) < 0 en (−1, 3)
a = −3, b = 6, c = −3
h = −6/(2(−3)) = −6/(−6) = 1
k = −3(1)2 + 6(1) − 3 = −3 + 6 − 3 = 0
Forma canónica: f(x) = −3(x − 1)2
Δ = 36 − 36 = 0 ⇒ una raíz doble: x = 1
Una funcion exponencial tiene la forma:
- Dominio: todos los reales (R)
- Imagen: positivos (0, ∞)
- Si a > 1: función creciente
- Si 0 < a < 1: función decreciente
- Intersección con eje y: (0, 1)
- Asíntota horizontal: eje y (y = 0)
Una funcion logarítmica tiene la forma:
- Dominio: positivos (0, ∞)
- Imagen: todos los reales (R)
- Si a > 1: función creciente
- Si 0 < a < 1: función decreciente
- Intersección con eje x: (1, 0)
- Asíntota vertical: x = 0
Las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas:
Propiedades clave:
- a^(log_a(x)) = x, para x > 0
- log_a(a^x) = x, para todo x real
- log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
- log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)
- log_a(x^b) = b·log_a(x)
Base especial: e ≈ 2.71828...
- e^x es su propia derivada: d/dx(e^x) = e^x
- ln(x) tiene derivada 1/x: d/dx(ln(x)) = 1/x
- ln(e^x) = x y e^(ln(x)) = x
Dominio: R, Imagen: (0, ∞)
Intersección con eje y: (0, 1)
Asíntota horizontal: y = 0
Función creciente (ya que 2 > 1)
Puntos característicos: (-2, 1/4), (-1, 1/2), (0, 1), (1, 2), (2, 4)
Dominio: R, Imagen: (0, ∞)
Intersección con eje y: (0, 1)
Asíntota horizontal: y = 0
Función decreciente (ya que 0 < 1/2 < 1)
Puntos característicos: (-2, 4), (-1, 2), (0, 1), (1, 1/2), (2, 1/4)
3^x = 81
3^x = 3^4 (porque 81 = 3^4)
x = 4
log_2(x) = 5
x = 2^5 (por definición de logaritmo)
x = 32
log_3(9x^2/y)
= log_3(9) + log_3(x^2) - log_3(y) (propiedad de cociente y producto)
= log_3(3^2) + 2·log_3(x) - log_3(y)
= 2 + 2·log_3(x) - log_3(y)
Un experimento cuya resultado no se puede predecir con certeza, pero cuyos posibles resultados son conocidos.
- Resultado elemental: cada posible resultado del experimento
- Espacio muestral (S): conjunto de todos los resultados elementales posibles
- Evento: subconjunto del espacio muestral
Si todos los resultados elementales son igualmente probables:
donde E es el evento y S es el espacio muestral.
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- P(E) = 0 significa que el evento es imposible
- P(E) = 1 significa que el evento es seguro
- P(S) = 1 (probabilidad del espacio muestral)
- P(∅) = 0 (probabilidad del evento imposible)
Dados un evento E, su complemento E' (o Ē) consiste en todos los resultados de S que no están en E.
Para cualquier par de eventos A y B:
Si A y B son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir al mismo tiempo):
La probabilidad de que ocurra A dado que ya ocurrió B es:
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 resultados)
Evento E = {2, 4, 6} (3 resultados favorables)
P(E) = 3/6 = 1/2
Hay 4 reyes en la baraja
Espacio muestral: 40 cartas
P(rey) = 4/40 = 1/10
Espacio muestral: 36 resultados posibles (6×6)
Resultados que dan suma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 resultados
P(suma=7) = 6/36 = 1/6
Total de estudiantes: 15 + 10 = 25
Número de chicas: 15
P(chica) = 15/25 = 3/5
Usando la regla de adición:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7